Situaciones e interrogantes:

Se debe producir un campo eléctrico entre dos superficies conductoras (electrodos) inmersas en un medio de alta resistencia (agua). Luego, mediante la utilización del voltímetro, se ubican los puntos de igual potencial, los cuales definen superficies equipotenciales y por consiguiente las líneas del campo eléctrico presente entre los electrodos.

Se debe examinar la naturaleza del campo eléctrico mediante la ubicación de líneas equipotenciales correspondientes a una distribución de carga dada y un posterior trazado de las líneas de campo asociadas.

Cuando se conecta el circuito, entre los electrodos existirá una diferencia de potencial V, igual a la de la fuente, esta se mide con el voltímetro.

Se toma un punto de referencia (V=0) en uno de los electrodos y se fija al mismo una de las puntas. Con la otra punta se selecciona un punto cualquiera entre los electrodos y se anotan sus coordenadas (X, Y) y el potencial, V1, indicado por el voltímetro. Desplazando la punta se buscan los puntos que están al mismo potencial V1, y se determinan sus coordenadas (X, Y).

Matemáticamente el campo eléctrico representa la dirección de máxima variación de la función potencial. De esto surge que las líneas de campo eléctrico y las líneas equipotenciales constituyen una familia de curvas ortogonales, esto significa que, en cada punto de intersección entre ellas, las tangentes de las mismas en ese punto forman un ángulo recto, basado en este principio se pueden determinar las líneas equipotenciales y las líneas de campo (usando los electrodos paralelos). A partir de las mediciones echas en el voltímetro y este principio es posible determinar como se comportan las líneas de campo en una superficie equipotencial.

2.2 Modelo de cálculo:

El concepto de una línea de campo eléctrico, es una curva en el espacio que es tangente al campo eléctrico, esto nos permite visualizar la geometría del campo eléctrico. Considerando la curva como una secuencia de puntos ř(t) = (x(t); y(t); z(t)) en el espacio con parámetro t, esto quiere decir que x(t), y(t) y z(t) es una función de la variable t, la cual esta dentro del intervalo 0 < t < 1. El decir que el campo eléctrico Ē es tangente a esta curva es decir:

Ex(ř) = dx(t); #9; Ey(ř) = dy(t); Ez(ř) = dz(t);

dt dt ; dt

Esto es ilustrado por la siguiente figura:

Una consecuencia de la ley de Coulomb es que los campos eléctricos no se interceptan (excepto en una carga). Otra consecuencia de dicha ley es que la magnitud del campo eléctrico ‌Ē ‌ es alto cuando las líneas de campo están muy juntas entre sí, lo cual ocurre típicamente en la proximidad de las cargas (en la figura se deduce que debe haber una carga en el origen).

La función voltaje de un campo es la medida del trabajo necesario para mover una carga de prueba de un punto a otro a través del campo;

V (ř) - V (ř₀) = ∫Ē·dř

y el campo eléctrico puede ser expresado en términos del voltaje por:

Ē=- ▼V=-(^δV, δV,δV)

ya que por regla de la cadena

dV = -▼V·d ř = (^δVdx+ δVdy+ δVdz)

La función del voltaje por ser un escalar es más fácil de calcular que el campo eléctrico, además puede ser medido directamente (con ayuda de un voltímetro), mientras que el campo eléctrico no puede ser medido de esta forma, pero obtener este último conociendo el voltaje es simple cuestión de derivar.

Equipotenciales:

Ya que podemos medir el voltaje con instrumentos como el voltímetro, podemos determinar las curvas y superficies de voltaje constante (equipotenciales). Y para estos existe un importante y útil teorema: "El campo eléctrico en el punto P apunta en la dirección de más rápido decrecimiento en voltaje". Esto es una propiedad general del gradiente.

*Haremos la demostración para 2 dimensiones:

Sea P=(x,y), se examina la diferencia de potencial entre P y cualquier punto alrededor de este en un circulo de radio a (tendiendo este a cero)

ΔV = V (x, y) - V (x + a cos θ, y + a sen θ) ≈ a cos θ ^δV - a sen θ^δV + ø(a²)

derivando con respecto a la dirección θ:

0 = ^δΔV = a sen θ^δV- a cos θ ^δV + ø(a²)

→ 0 = (cosθ,sen θ) · (-^δV , δV )

resolviendo para el vector unitario (cosθ, sen) y usando vectores propios (0 = (^δV, δV) · (-^δV, δV))

(cos θ, sen θ) = (√(^δV)²+(^δV)²)^-1 (^δV,δV) = ^{. ▼V .}

así la función decrece más rápidamente en la dirección del vector gradiente para V.

Una de las relaciones geométricas más importantes en electrostática es la siguiente "superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo eléctrico".

* Esto es posible probarlo usando la regla de la cadena:

Sea V (x; y; z) = C una superficie equipotencial en el espacio.

Y sea L = (x(t); y(t); z(t)) la curva en la superficie V con parámetro t. Sea Ť = (^δx(t),δy(t), δz(t)) el vector tangente a L.

Entonces el campo eléctrico para cualquier punto de a superficie será:

Ē = -(^δV, δV,δV)

El producto punto entre Ť y Ē:

Ť· Ē = -(^{δV dx}+^{δV dy}+^{δV dz})

Para la curva la variable independiente es t, entonces por regla de la cadena:

Ť· Ē = -^{dV(x(t),y(t),z(t))}

el voltaje es el mismo para todos los puntos en el equipotencial V= kte = c

Ť· Ē = - ^dc = 0

esto quiere decir que los vectores son perpendiculares entre si.

→ Ē es perpendicular a la tangente de una curva arbitraria dibujada en el equipotencial, y lo es tambien a toda la superficie.

Para determinar las superficies equipotenciales en el espacio usando conductores y una fuente de VDC, se localizan (en un plano con coordenadas) usando el voltímetro y se dibujan curvas que interceptan a los equipotenciales con el ángulo correcto (estas curvas serán las líneas de campo eléctrico).

El campo el eléctrico en la práctica se determinara usando un punto x así:

E(x) ≈ ‌ ^V(x+Δx/2)-V(x- Δx/2) ‌ con Δx: la distancia más corta entre 2 equipotenciales de #9; los cuales x sea el punto medio.